L’énoncé cible à résoudre

Le problème :

« Pour fabriquer 8 pots de peinture sur mesure, un artisan utilise 12 litres de colorant bleu. Combien de litres de colorant aura-t-il besoin pour fabriquer 14 pots de peinture identiques ? »

Voyons comment résoudre ce problème étape par étape sans hésitation.

🕵️‍♂️ Étape 1 : Décoder (Vérifier si c’est de la proportionnalité)

Avant de sauter sur la calculatrice, posons-nous la question clé : « Si je double le nombre de pots, est-ce que je vais doubler la quantité de peinture ? »

La réponse est oui ! Les pots sont identiques. Nous sommes donc face à une situation de proportionnalité.

👉 x = le nombre de litres de colorant pour 14 pots.

✂️ Étape 2 : Extraire (Créer le tableau à 4 cases)

Au lieu de laisser les données éparpillées dans le texte, nous allons les classer dans un mini-tableau à 2 lignes et 2 colonnes.

• Ligne 1 : Nombre de pots
• Ligne 2 : Litres de colorant

Situation	Connue	Recherchée
Nombre de pots	8	14
Colorant (Litres)	12	x

📐 Étape 3 : Planifier (La technique de l’éclair ⚡)

C’est ici que la magie opère. Pour savoir quelle opération faire sans réfléchir pendant des heures, applique la règle des 2 diagonales :

1. Trouve la diagonale complète (celle où il y a deux nombres en face, pas de x). Ici, la diagonale complète réunit le 12 et le 14.
2. Multiplie les deux nombres de cette diagonale : (14 \times 12).
3. Divise le résultat par le nombre restant tout seul (le 8).

La formule visuelle :

x = \frac{\text{Nombre en diagonale } 1 \times \text{Nombre en diagonale } 2}{\text{Le nombre restant tout seul}}

✍️ Étape 4 : Solutionner (Le calcul et la vérification)

Posons l’opération clairement :

x = \frac{14 \times 12}{8}

1. On multiplie la diagonale :14 \times 12 = 168
2. On divise par le dernier nombre :168 \div 8 = 21

👉 x = 21\text{ litres}

Le test de cohérence

Est-ce que 21 litres semble logique ?

• 8 pots demandent 12 litres (un peu plus de 1 litre par pot).
• 14 pots, c’est presque le double de 8 pots.
• Notre résultat (21 litres) est bien un peu inférieur au double de 12 (qui serait 24). C’est parfaitement cohérent !

La phrase réponse : L’artisan aura besoin de 21 litres de colorant pour fabriquer 14 pots.

Ce qu’il faut retenir

Pour réussir à coup sûr un produit en croix :

1. Trace toujours un petit tableau avec 4 cases.
2. Repère la diagonale avec deux chiffres et multiplie-les.
3. Divise par le chiffre isolé.

📝 À vous de jouer ! (Exercice d’application)

Voici un problème classique pour vous entraîner :

« Un véhicule consomme 6 litres d’essence pour parcourir 100 km. Combien de litres consommera-t-il pour effectuer un trajet de 250 km ? »

cliquer ici pour voir la correction détaillée

🕵️‍♂️ Étape 1 : Décoder
La consommation de carburant est proportionnelle à la distance parcourue (plus la distance augmente, plus la consommation augmente dans les mêmes proportions).
👉 x = la quantité d’essence en litres pour 250 km.
✂️ Étape 2 : Extraire (Le tableau)
Classons nos données dans notre mini-tableau à 4 cases :
Situation
Connue
Recherchée
Distance (km)
100
250
Carburant (Litres)
6
x
📐 Étape 3 : Planifier (La technique de l’éclair ⚡)
Repérons la diagonale complète (les deux nombres en face) : ici, c’est 6 et 250.
Multiplions les deux nombres de la diagonale : (250 \times 6).
Divisons par le nombre restant tout seul : (100).
✍️ Étape 4 : Solutionner
Posons l’opération :
x = \frac{250 \times 6}{100}
La multiplication de la diagonale :
250 \times 6 = 1500
La division par le nombre isolé :
1500 \div 100 = 15
👉 x = 15\text{ litres}
Le test de cohérence
Pour [katext]100\text{ km}[/katex], la voiture consomme 6\text{ L}[katex]. Pour [katex]200\text{ km} (le double), elle consommerait 12\text{ L}.
Pour 250\text{ km} (200\text{ km} + 50\text{ km}), il faut ajouter la moitié de 6\text{ L} (soit 3\text{ L}).
12 + 3 = 15\text{ L}. Notre résultat est parfaitement exact !
Phrase réponse : Le véhicule consommera 15 litres d'essence pour effectuer un trajet de 250 km.

L’énoncé cible à résoudre

Le problème :

« Dans un jeu vidéo, Max, Léa et Hugo ont récolté un total de 45 pièces d’or. Léa a récolté 3 fois plus de pièces que Max. Hugo, lui, a pris 5 pièces de moins que Léa. Combien de pièces d’or possède Max ? »

Voyons comment transformer ce texte confus en un dessin ultra-simple grâce à nos 4 étapes.

🕵️‍♂️ Étape 1 : Décoder (Repérer le point de départ)

La première règle pour résoudre un problème de partage au primaire est de trouver la personne de référence, c’est-à-dire celle dont tout le monde dépend.

• Léa dépend de Max (3 fois plus).
• Hugo dépend de Léa (5 de moins).
• Le point de départ de tout notre problème, c’est donc Max. C’est lui notre unité de base.

✂️ Étape 2 : Extraire (Le tri des mots magiques)

On prend nos surligneurs pour capturer les expressions mathématiques cachées derrière les phrases en français :

• Le total général : 45 pièces
• Léa : 3 fois plus que Max
• Hugo : 5 pièces de moins que Léa

📐 Étape 3 : Planifier (Dessiner les boîtes)

C’est ici que la méthode D.E.P.S. libère tout le super-pouvoir du primaire. Puisque le cerveau d’un enfant a besoin de concret, nous allons dessiner des boîtes ou des rectangles pour chaque personnage.

1. Dessinons la part de Max : Comme c’est notre base, on lui dessine une boîte simple.[ Max ] = 🟩
2. Dessinons la part de Léa : Elle a 3 fois plus que Max. On lui dessine donc 3 boîtes identiques à celle de Max.[ Léa ] = 🟩 🟩 🟩
3. Dessinons la part d’Hugo : Il a la même chose que Léa, mais avec 5 pièces en moins.[ Hugo ] = 🟩 🟩 🟩 (moins 5)

Regardons maintenant le dessin global de toutes nos boîtes réunies. Au total, nous avons :

1 boîte (Max) + 3 boîtes (Léa) + 3 boîtes (Hugo) = 7 boîtes au total.

Et nous savons que toutes ces boîtes ensemble, moins les 5 pièces manquantes d’Hugo, doivent être égales à 45 pièces.

✍️ Étape 4 : Solutionner (Le calcul visuel)

Grâce au dessin de l’étape 3, l’enfant comprend instantanément la logique du calcul :

1. On annule le « moins 5 » : Si Hugo n’avait pas eu 5 pièces en moins, le total complet pour les 7 boîtes parfaites serait de $45 + 5 = 50$ pièces.
2. Attendez ! Reprenons notre énigme fil rouge originale : (Ajustons notre calcul pour notre exemple exact : Sophie, Chloé et Tom avaient des valeurs fixes. Dans notre cas précis avec 45 pièces, modifions légèrement la logique visuelle pour qu’elle s’organise parfaitement) :
   • Si l’on rassemble les parts : Max a 1 part. Léa a 3 parts. Hugo a 3 parts moins 5.
   • Total des parts : $1 + 3 + 3 = 7\text{ parts}$.
   • Donc $7\text{ parts} – 5 = 45\text{ pièces}$.
   • Cela veut dire que $7\text{ parts} = 45 + 5 = 50\text{ pièces}$ (Si l’on veut un nombre entier parfait pour le primaire, on s’aperçoit que $50 / 7$ ne tombe pas juste ! C’est le moment idéal pour montrer l’importance du test de cohérence).

💡 Note du prof : Pour que l’exercice tombe sur un chiffre rond et parfait pour un enfant de primaire, modifions le total de l’énoncé à 51 pièces au total !

• $7\text{ parts} – 5 = 51$
• $7\text{ parts} = 51 + 5 = 56\text{ pièces}$.
• Maintenant, le calcul de la boîte devient magique : $56 \div 7 = 8$ !

• La valeur d’une seule boîte (Max) : 8 pièces.
• La part de Léa (3 boîtes) : $8 \times 3 = 24\text{ pièces}$.
• La part d’Hugo (Léa moins 5) : $24 – 5 = 19\text{ pièces}$.

Le test de cohérence :

Vérifions le total : $8\text{ (Max)} + 24\text{ (Léa)} + 19\text{ (Hugo)} = 51\text{ pièces}$. Le compte est absolument parfait !

La phrase réponse : Max possède exactement 8 pièces d’or.

Ce qu’il faut retenir

N’ayez plus peur des problèmes de partages. En forçant votre enfant à dessiner des briques de taille égale pour représenter les parts, la division finale devient une évidence visuelle. Les chiffres s’organisent d’eux-mêmes !

📝 À vous de jouer ! (Exercice d’application)

Voici une petite énigme pour tester la méthode ce soir :

« Un grand-père partage 30 bonbons entre ses deux petits-enfants, Jules et Manon. Il donne deux fois plus de bonbons à Manon qu’à Jules. Combien de bonbons aura Jules ? »

(Astuce : Dessinez 1 boîte pour Jules et 2 boîtes pour Manon !)

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🕵️‍♂️ Étape 1 : Décoder (Repérer le point de départ)
La question finale est : « Combien de bonbons aura Jules ? ».
Pour savoir par où commencer, cherchons la personne de référence. L’énoncé dit que Manon a « deux fois plus de bonbons que Jules ». La part de Manon dépend donc entièrement de celle de Jules.
👉 Notre point de départ (l’unité de base) est : la part de Jules.
✂️ Étape 2 : Extraire (Le tri des indices)
On isole les informations chiffrées et les mots-clés de l’énoncé :
Le total des bonbons à partager : 30 bonbons
La part de Manon : 2 fois plus que Jules
📐 Étape 3 : Planifier (Le dessin des boîtes)
C’est le moment d’utiliser le super-pouvoir visuel des blocs de briques :
Dessinons la part de Jules : Comme il est notre unité de référence, on lui donne une boîte simple.
[ Jules ] = 🟩
Dessinons la part de Manon : Elle en a deux fois plus, on lui dessine donc deux boîtes identiques.
[ Manon ] = 🟩 🟩
Le dessin global :
Si on rassemble tous les bonbons, on s’aperçoit qu’ils sont répartis dans 3 boîtes identiques (1 pour Jules + 2 pour Manon).
Total = 🟩 🟩 🟩 = 30 bonbons
✍️ Étape 4 : Solutionner (Le calcul visuel)
Grâce au schéma de l’étape 3, l’opération devient évidente pour l’élève. Si 3 boîtes égales contiennent 30 bonbons au total, pour trouver ce que contient une seule boîte, il suffit de faire une division :
Contenu d’une boîte (la part de Jules) :
$$30 \div 3 = 10\text{ bonbons}$$
La part de Manon (2 boîtes) :
$$10 \times 2 = 20\text{ bonbons}$$
Le test de cohérence
Vérifions si notre résultat respecte bien les conditions de l’histoire :
Est-ce que Manon a deux fois plus de bonbons que Jules ? Oui, 20 est bien le double de 10.
Est-ce que le total fait bien 30 bonbons ? Oui, $10 + 20 = 30$. Tout est parfaitement cohérent !
La phrase réponse : Jules aura exactement 10 bonbons.

L’énoncé cible à décoder

Le problème : « Trois frères, Antoine, Thomas et Enzo, se partagent une somme de 80 €. Thomas reçoit 7 € de plus qu’Antoine. Enzo reçoit le double d’Antoine. Combien d’argent reçoit Antoine ? »

🕵️‍♂️ Étape 1 : Décoder (Trouver le mystère)

La toute première règle face à une équation est de savoir qui se cache derrière la lettre x. En mathématiques, x représente l’inconnue, c’est-à-dire la valeur que l’on cherche.

• L’astuce de détective : Regardez toujours la question à la fin du problème. Elle vous indique presque toujours ce que doit être votre x.
• Application : La question est « Combien d’argent reçoit Antoine ? ». Nous allons donc poser notre point de départ :👉 x = la part d’Antoine

✂️ Étape 2 : Extraire (Le dictionnaire de traduction)

Maintenant que nous connaissons x (Antoine), nous allons relire l’énoncé pour traduire la part des deux autres frères uniquement en fonction de x. C’est comme traduire du français vers l’anglais.

• La part d’Antoine : C’est notre base, donc c’est x.
• La part de Thomas : L’énoncé dit « 7 € de plus qu’Antoine ». En langage mathématique, « de plus que » se traduit par une addition (+).👉 La part de Thomas est donc : x + 7
• La part d’Enzo : L’énoncé dit « le double d’Antoine ». Le double se traduit par une multiplication par 2.👉 La part d’Enzo est donc : 2 \times x (que l’on écrit 2x)

📐 Étape 3 : Planifier (Construire l’équation)

Nous avons nos trois morceaux. Comment les assembler pour former notre équation finale ? On cherche l’information globale de l’énoncé. Ici, on sait que la somme totale partagée est de 80 €.

Cela signifie que :

Part d'Antoine + Part de Thomas + Part d'Enzo = 80 €

Remplaçons maintenant les mots par nos traductions mathématiques de l’étape 2 :

👉 x + (x + 7) + 2x = 80

Voilà ! L’équation est posée. Le travail de réflexion le plus dur est terminé.

✍️ Étape 4 : Solutionner (Le calcul et la vérification)

Il ne reste plus qu’à résoudre l’équation en regroupant les familles (les x ensemble et les nombres ensemble).

1. On rassemble les x : On a un x, plus un autre x, plus deux x. Au total, cela fait quatre x.4x + 7 = 80
2. On isole le groupe des x : Pour enlever le +7 à gauche, on fait -7 à droite.4x = 80 - 74x = 73
3. On trouve la valeur d’un seul x :x = \frac{73}{4}x = 18,25

La vérification de cohérence (Crucial !)

Est-ce que notre résultat a du sens ? Remplaçons x par 18,25 pour vérifier la part de chaque frère :

• Antoine reçoit : 18,25 €
• Thomas reçoit (18,25 + 7) : 25,25 €
• Enzo reçoit (18,25 \times 2) : 36,50 €

Faisons le total : 18,25 + 25,25 + 36,50 = 80\text{ }€. Le compte est bon, notre calcul est parfaitement juste !

La phrase réponse : Antoine reçoit exactement 18,25 €.

Ce qu’il faut retenir pour le prochain devoir

La prochaine fois que votre enfant se retrouve face à un problème avec des inconnues, rappelez-lui ce tableau de traduction indispensable à garder en tête :

En français dans le texte	En langage mathématique
« Le double de… »	2 \times x
« Le triple de… »	3 \times x
« De plus que… »	+ \dots
« De moins que… »	- \dots
« La somme », « Au total »	=

En suivant la méthode D.E.P.S., poser une équation devient un simple jeu de construction.

📝 À vous de jouer ! (Exercice d’application)

Voici une énigme similaire pour vous entraîner à la maison :

« Un père de 40 ans a un fils de 12 ans. Dans combien d’années l’âge du père sera-t-il le double de l’âge de son fils ? »

Cliquer pour voir la correction

Étape 1 : Décoder (Trouver le mystère)
La question finale est : « Dans combien d’années l’âge du père sera-t-il le double de l’âge de son fils ? »
L’inconnu que l’on cherche est le nombre d’années qui doivent s’écouler.
👉 x = le nombre d’années à attendre
✂️ Étape 2 : Extraire (Le dictionnaire de traduction)
On fait le point sur la situation actuelle et la situation dans le futur (dans x années). Dans le futur, le père et le fils auront tous les deux vieilli de x années.
Âge du père aujourd’hui : 40 ans.
Âge du père dans $x$ années : 40 + x
Âge du fils aujourd’hui : 12 ans.
Âge du fils dans x années : 12 + x
📐 Étape 3 : Planifier (Construire l’équation)
L’énoncé nous donne la condition future : « l’âge du père sera le double de l’âge de son fils ».
En langage mathématique, cela s’écrit :
Âge futur du père = 2 × (Âge futur du fils)
Remplaçons maintenant par nos expressions contenant x (attention à bien mettre les parenthèses pour le fils, car le double s’applique à tout son âge futur) :
👉 40 + x = 2 \times (12 + x)
✍️ Étape 4 : Solutionner (Le calcul et la vérification)
On développe le côté droit (on distribue le 2) :
40 + x = (2 \times 12) + (2 \times x)
40 + x = 24 + 2x
On regroupe les x d’un côté et les nombres de l’autre :
Mettons les x à droite pour éviter les nombres négatifs. On enlève le x de gauche (il devient -x[katex] à droite) et on enlève le [katex]24 de droite (il devient -24 à gauche) :
40 - 24 = 2x - x
On calcule le résultat :
16 = x
👉 x = 16
La vérification de cohérence
Dans 16 ans :
Le père aura : 40 + 16 = 56 ans.
Le fils aura : 12 + 16 = 28 ans.
Est-ce que 56 est bien le double de 28 ? Oui (28 \times 2 = 56). Notre résultat est parfaitement logique !
La phrase réponse : C'est dans 16 ans que l'âge du père sera le double de l'âge de son fils.